劈尖作为一种常见的光学器件,在大学物理和大学物理实验课程中都占有重要的地位.但在对劈尖理论及实验进行分析时,通常采用了垂直入射以及小角度近似,对于此近似方法可能导致的测量误差分析很少[1-3].一些文章虽然也对此进行了讨论,主要从光程差出发探讨了对于角度的范围限定,或者探讨了不同光源的影响等情况[4-6].
本文通过折射定律进行了几何图形分析,得到反射光的实际交汇点进而得到实际测量到的角度,并分析了实际值与理论值的区别.通过数值分析,探讨了劈尖夹角、相对折射率对测量角度的影响,探索了更好的进行精确测量结果的方法.利用数形结合的方法,使得分析过程直观、简洁,容易理解.
2 角度推导
在劈尖干涉实验中,理论分析时一般取垂直劈尖下表面或上表面入射.在实验中,由于显微镜调节误差,入射角都有一点的小误差存在,故在研究时取一个小角度的入射角.

如图1所示,取折射率为n2的透明劈尖薄膜,夹角为.平行光由折射率为n1的介质入射,入射角为i.在折射率为n2的透明薄膜的折射角为,且满足折射定律：

当折射角 = 时,折射光线以0入射角入射到劈尖下表面,其反射光沿原路返回.此时其发生干涉所形成的光程差与理论计算的光程差一致,此时测量的结果理论值与实际值相同.折射角 = 对应于入射角,将此角度称之为最佳入射角.当入射角时,两反射光线相交点在劈尖上表面上方,即实际成像平面与劈尖下表面所成角度大于劈尖夹角.当入射角时,两反射光线相交点在劈尖上表面下方,即实际成像平面与劈尖下表面所成角度小于劈尖夹角.
2.1 当时的角度推导
如图1所示,任意一条光线入射到劈尖上表面A点,折射到劈尖下表面B点后反射到上表面C点,折射后与上表面的反射光相交于P点.而OP连线与底面所成角度就是在劈尖实验中所测量得到的角度1.

由折射定律和三角形角度关系可得：
（1）
其中,i为入射角,为进入劈尖的折射角,为劈尖中的反射光在上表面发生折射时的入射角,为进入n1介质的折射角.为劈尖上表面A点法线延长线与下表面的夹角,为折射光线AB在下表面的入射角,为劈尖夹角.为劈尖顶点与相干光交点（成像点）的连线与劈尖下表面的夹角.
由正弦定理,可分别在ΔABG、ΔABC、ΔAPC、ΔAOP中得：
（2）
计算可得：
（3）
其中,

如果采用小角度近似,可以简化为：

2.2 当时的角度推导
如图2所示,任意一条光线入射到劈尖上表面A点,折射到劈尖下表面B点后反射到上表面C点,折射后的反向延长线与上表面的反射光的延长线相较于P点.而OP连线与底面所成角度就是劈尖实验中所测量得到的角度2.


由折射定律和三角形角度关系可得：
（4）
其中,i为入射角,为进入劈尖的折射角,为劈尖中的反射光在上表面发生折射时的入射角,为反射光由劈尖进入n1介质的折射角.为劈尖上表面A点法线延长线与下表面夹角,为折射光线AB在下表面的入射角,为劈尖夹角. 为劈尖顶点O与相干光交点（成像点）的连线与劈尖下表面的夹角.
应用正弦定理可分别在ΔABC、ΔABG、ΔAPC、ΔAPO中得:
（5）
计算可得：
（6）
3 数值分析
3.1 影响因素的数值分析
由式（3）、（6）可以看出,实际成像得到的夹角与相对折射率、劈尖夹角以及入射角的大小有关.为了讨论各种关系影响程度,分别讨论劈尖夹角的绝对误差和相对误差.
当 时,由（3）式可以推导出角度测量的绝对误差为：
（7）
相对误差为：
（8）
当时, 由（6）式可以推导出角度测量的绝对误差为：
（9）
相对误差为：
（10）
图4、5、6分别给出了在入射角时，入射角与最佳入射角的差值、相对误差、绝对误差与劈尖夹角的关系曲线.可以发现：在入射角时，小于最佳入射角，所测得的角度小于劈尖夹角的实际值；随着劈尖夹角的增加，入射角与最佳入射角的偏差增加，导致绝对误差的增加，而相对误差变化不明显；但随着相对折射率的增加，入射角与最佳入射角的偏差减小，相对误差和绝对误差明显增加，说明相对折射率在入射角时入射角与最佳入射角的差值、劈尖夹角的绝对误差有较大的影响.
图7、8、9分别给出了在入射角等于劈尖夹角，即时，入射角与最佳入射角的差值、相对误差、绝对误差与劈尖夹角的关系曲线.可以发现：随着劈尖夹角的增加，入射角与最佳入射角的偏差增加，导致绝对误差的增加，二相对误差变化不明显；随着相对折射率偏离1的程度增加，入射角与最佳入射角的偏差逐渐增加，入射角与最佳入射角的偏差增加，相对误差和绝对误差明显增加，其中入射角与最佳入射角的偏差的在相对折射率小于1时快于相对折射率大于1时增加.
图10、11给出了在入射角比最佳入射角小0.1˚时的绝对误差、相对误差随劈尖夹角的关系曲线；图12、13给出了在入射角比最佳入射角大0.1˚时的绝对误差、相对误差随劈尖夹角的关系曲线；分析可以发现：入射角小于最佳入射角时，绝对误差数和相对误差随着相对折射率的增加而增加；入射角大于最佳入射角时，绝对误差数和相对误差随着相对折射率偏离的增加而增加。随着相对折射率偏离1的程度增加，入射角与最佳入射角的偏差逐渐增加，入射角与最佳入射角的偏差增加，且在相对折射率小于1时快于相对折射率大于1时增加.；同样的入射角度偏差对相对误差在劈尖夹角很小时（<1˚）影响较大，但随着劈尖夹角的增加快速减小。