摘要：为了简化和统一《结构力学》教材中杆件体系计算自由度W的算法，本文提出了“直接法”。该方法以相邻节点间的杆件和结点为分析对象，对于含m根杆件、g个单刚结点和h个单铰结点的平面杆件体系，直接法给出计算自由度公式W=3m-(3g+2h)。相比于已有方法，直接法研究对象清晰，数学运算统一，适合于编程计算，便于初学者准确而快速计算复杂体系的W；也为结构超静定次数的确定提供了一种简单有效的数值算法。
Abstract:
This paper proposes a direct method to characterize the computational degree of freedom W of bar systems for the sake of simplicity and uniformity. By treating the bar between any two adjacent joints and the joints as analysis objects, the direct method gives a formula W=3m-(3g+2h) for the plane system with m bars, g single rigid joints and h single hinge joints. Compared with the previous algorithms to determine W, this method is easy to be applied and may enhance the accuracy and the efficiency. It is also helpful in determining the degree of statically indeterminate problem.
关键词：杆件体系； 计算自由度； 直接法。
Key words: Bar Systems, the computational degree of freedom, the direct method.
1. 引言
《结构力学》[1]是中国高校土木类专业基础课，对培养学生的力学理论素养和工程结构的应用与设计思维具有重要作用。该课程主要内容为静定与超静定杆件结构的内力与变形分析。当考虑杆件体系的工程安全性时，不仅内力/变形须满足相应的强度/刚度要求外，其几何构造也须合理，即体系应当是几何不变的。目前大部分教材[2-7]中介绍了计算自由度W的概念和算法，主要目的是利用W辅助分析杆件体系的几何构造合理性；也可通过W确定给定结构的超静定次数，为力法和位移法的学习打下基础。计算自由度W定义为：
W=a-d (1)
a—体系中各杆件无任何约束时的自由度数总和；d—全部约束总和。对于平面杆件体系，已有教材提供了两种W算法。算法一是将体系看作为受链杆约束的结点系，则
W=2j-b (2)
j—铰结点个数，b—单链杆个数。该算法表达式简洁，却难以用于含有刚结点的体系，应用范围受限。算法二把平面杆件体系看成受铰结、刚结和链杆约束而成的刚片系，则
W=3m-(3g+2h+b) (3)
m—体系中认定的刚片数，g—单刚结个数，h—单铰结个数，b—支座链杆数。该算法的不足在于：需要预先认定刚片和支座链杆，认定的刚片内部不允许有多余约束。对于由多根杆件形成的封闭型刚片，需要事先剖开为无多余约束的钢片，剖开处作为刚结点约束处理。对于较复杂的体系，该剖开处理增加了分析难度，不同学生将给出不同的剖开方式。从数值方法的角度来看，该算法统一性较差，运用限定条件也较强。我们也注意到一些教材[2]中将算法二简化为W=3m-(2h+b)，即不考虑体系中的刚结点；b不仅包括支座链杆，也包括体系内部认定的链杆。该简化算法须事先认定链杆和刚片，钢片内部也不能有多余约束，应用起来比算法二稍复杂。鉴于以上W算法的不足，我们提出一种称为“直接法”的W算法。
2. 直接法简介
考虑到杆件是体系的基本单元，我们基于方程（1）直接计算W：体系中任何两个相邻结点间的杆件（包括支座形式的链杆），不论曲直均看作为一个杆件。则m根杆无约束时其平面内总自由度为3m。大地（基础）是自由度为0的杆件，不计入杆件总数，但须考虑与其他杆件的结点约束。假设整个体系所有结点中存在g个单刚结点和h个单铰结点，则方程（1）表达为：
W=3m-(3g+2h) (4)
该算法既不需要事先认定刚片和链杆，也不需要考虑算法二中对刚片的限制条件或做剖开处理，分析起来更加清晰和直接，也更适合编程计算。对于复刚结点或复铰结点，换算为相应的单刚结或单铰结数目即可。笔者指出：方程（4）形式上可看作为方程（3）的简化形式，但内涵上不同：前者以单个杆件和结点为分析对象，而后者以若干杆件组合而成的刚体、链杆和结点为分析对象。
作者：周嘉舜 王璠 欧姸君 黄世清 匡友弟
